趣话概率之悖论篇

2019-01-12 作者:科技专栏   |   浏览(110)

  罗素发现了著名的罗素悖论,相关内容可参考和。关于罗素的更多介绍,可参考。下面先介绍一些经典的概率悖论。

  生日悖论,也叫生日问题,是指如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%(如下图);而对于60或者更多的人,这种概率要大于99%。

  这个数学事实与大多数人的直觉——23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%相抵触。在这个意义上,生日问题便可称为一个悖论。

  关于生日悖论有一个笑话:一位数学老师在课堂上讲了这个问题,然后有一个同学说:

  蒙提霍尔悖论亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论、三门问题,是一个源自博弈论的数学游戏问题,大致出自美国的电视游戏节目Lets Make a Deal(问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔),并因电影《决胜24点》为大多数非数学专业人士所知晓。

  这个游戏的玩法是:参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

  问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率?答案是会——换门的话,赢得汽车的机会率是 2/3,而不换只有1/3。

  因为不管参赛者怎么选,主持人的行为总能做到,因此其并没有改变第一扇门后的概率分布。

  与三门问题,类似的一个问题叫贝特朗箱子悖论,注意区别于著名的“贝特朗悖论”。也有人把此叫做金盒问题,叙述如下:

  现有三个箱子,每个箱子都有两个空档,中间用木板隔开。第一个箱子里面是两块金条,第二个箱子里面是两块银条,第三个箱子里面是一块金条和一块银条。随机抽取一个箱子,然后随机打开一个空档。如果里面是金条,那另外一个空档里是金条的概率是多少?

  与大多数人的直觉相违背,所求概率并不是1/2。那么究竟是多少呢?如果将三个盒子表示为:(金1,金2)、(金3,银1)、(银2,银3),其中一个空档里是金条,有3种情况:金1、金2、金3,并且每种情况概率相同。这时,另一个空档里可能是金2、金1、银1,易知,另一个空档里是金条的概率为2/3。

  假设人群中有1%的人罹患某疾病,而其他人是健康的。我们随机选出任一个体,假设检验动作实施在未患病的人身上时,有1%的机率其结果为假阳性;实施在患病的人身上时,有1%的机率其结果为假阴性。

  计算可知:如果患病,而被检出为阳性的概率为99%;而如果被测定为阳性者,实际上患病的概率仅为50%。也就是说有一半实际上是假阳性。

  数学家John Allen Paulos 在他的《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。

  这个问题是物理学家威廉·纽科姆发明的,故称为纽科姆悖论,或纽卡悖论。其叙述如下:

  一天,一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。他搞出一个设备来研究人的大脑。并且可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个(一说准确度只有90%,不过似乎区别不大)。

  欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的,总是装着1千美元。箱子B不透明,它要么装着1百万美元,要么空着。

  欧米加告诉每一个受试者:“你有两种选择,一种是你拿走两个箱子,可以获得其中的东西。可是,当我预计你这样做时,我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时,我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部的钱。”

  这个男人决定只拿箱子B。他的理由是——“我已看见欧米加尝试了几百次,每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人,只能得到1千美元。所以我只拿箱子B,就可变成一个百万富翁。”

  这个女孩决定要拿两个箱子,她的理由是——“欧米加已经做完了他的预言,并已离开。箱子不会再变了。如果是空的,它还是空的。如果它是有钱的,它还是有钱。所以我要拿两个箱子,就可以得到里面所有的钱。”

  你认为谁的决定更好(假设他们都是理性的,当其他条件相同的时候,在钱多和钱少之间,一定是选择钱多)?

  其实纽科姆悖论和概率的关系并不大,倒是和哲学的关系很大。从对这个悖论的反应可以区分出,愿意拿两个箱子的是自由意志论者,愿意拿B箱者是决定论(宿命论)者。当然也有一些人认为:不管未来是完全决定的,还是不完全决定的,这个悖论所要求的条件是矛盾的。

  目前这一悖论尚未解决。对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏,以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。

  三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用枪进行一次决斗。甲的命中率是30%,乙比他好些,命中率是50%,最出色的枪手是丙,他从不失误,命中率是100%。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:甲先开枪,乙第二,丙最后。然后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么甲第一枪应该怎么打?谁活下来的概率最大?

  出人意料的是,甲的第一枪应该放空枪,并且甲活下来的概率最大。简单来说,当乙在场的时候,丙不会打甲;当丙在场的时候,乙也不会打甲。具体的博弈过程这里不详述,可参考《最迷人的数学趣题》第9章。

  已知某酒鬼有90%的日子都会出去喝酒,喝酒只去固定三家酒吧。今天警察找了其中两家酒吧都没有找到酒鬼。问:酒鬼在第三家酒吧的概率?

  可能你会认为依然是90%,其实答案是75%,并很好理解:在警察开始找之前,酒鬼在三家酒吧以及家里的概率分别是30%、30%、30%、10%,而在排除了前两家酒吧以后,酒鬼不在第三家酒吧就在家里。因此,在第三家酒吧的概率为30%/(30%+10%)=75%。

  小明和爸爸妈妈轮流下棋,只要三局之内能连胜两局,就能得到一本漫画书。爸爸的棋艺较为高超,妈妈的棋艺一般。假设和爸爸下赢的概率为50%,和妈妈下赢的概率为75%,你认为小明应该先和爸爸下还是妈妈下?

  答案出人意料,是先和妈妈下。直观的理解,如果先和妈妈下,那么第二把必须要赢爸爸,而如果先和爸爸下,则只要赢一次爸爸即可。如果你不信,可以通过计算看看。

  本福特定律,也叫本福德法则,该定律说明一堆从实际生活得出的数据中,以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成,接近期望值1/9的3倍。

  实际上,这并不难理解。因为数字进位之后,总是从1开始,然后是2、3……据说这也是大多数计算器上的数字1—9中,“1”最先坏的原因。

  用加、减、乘、除和括号,将“1872年5月18日”中的4个数:5,18,18,72进行计算,得到38。

  本栏目以重大历史事件为线索,介绍数学和数学家的故事,数学与各种文化的关系等。让学生了解数学发展的脉络,认识到数学并不是孤立的学科,而是联系生活的方方面面的。另外,以历史事件发生的日期,算变形24点,提高学生的心算能力。

趣话概率之悖论篇