奇妙的生日悖论:这就是数学的魔力

2019-01-16 作者:科技专栏   |   浏览(148)

  开动脑筋,想想生日中有趣的数学现象。例如,四年才出现一次2月29日,也意味着这一天出生的人四年才能过上一次生日。此外,如果在街上偶遇一人,你们同一天生日的可能性有多大?

  似乎很渺茫,对吧?366天,遇到同一天生日的概率为1/366,或0.0027%!概率极小,这就是为什么当你遇到一个和你同一天生日的人,你会不禁感慨,天啊,这好神奇啊,好巧啊!

  那么,考虑一下这样的问题:在一个房间里,至少有多少人,才能使其中两个人的生日是同一天的可能性超过50%?

  其实这是错误的!你相信这仅仅只需要23个人吗?听起来似乎不可能,但这是真的!

  这个有趣的数学现象被称为生日悖论。当然,这不是一个真正的逻辑悖论,因为它不是自相矛盾的。它只是非常地不可思议、难以置信。

  在开始解释这个原因之前,先假设一年只有365天,每一天的生日概率相同。虽然假设不完全准确,但使我们计算起来更加方便,而且不会影响到最终结果。

  生日悖论会令人感到难以置信,因为人类倾向于从自己的角度看待问题。人们通常这样想,如果一个房间里加上自己共有23人,你会觉得在这22人里跟你同一天生日的可能性太低了。

  365天,现在却只有22个人,你可能会想概率只有22/365,所以很难在这22个人中遇上跟自己同一天生日的。

  其实,这是一种错误的思考方式只是站在你自己的角度来思考有谁与你生日是一样的。

  事实上,生日问题指的是在任何23个人中,两人生日相同的概率是多少,而不是你进入了一个有着22个人的房间,房间里有人会和你有相同生日的概率。

  把第一个人与其他22个比较,把第二个人与21个人比较,第三个人与其它20个人比较......直到最后第二个人与最后一个人比较。将23个人之间的所有这些比较加起来,产生22 + 21 + 20 ... + 1 =23 x 22/2 = 253种不同的搭配,所以产生一对成功匹配的生日并非不可思议。

  人们通常是站在这样一个角度来看问题你进入了一个有着22个人的房间,那么房间里有人会和你有相同生日的概率非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配,这应该非常好理解。

  为了计算出生日相同的概率,我们可以先计算所有人生日都不同的概率。那么,第一人生日是唯一的概率为365/365,第二个人生日是唯一的概率则下降到364/365,以此类推,第23个人生日是唯一的概率为343/365。

  然后,把所有23个独立概率相乘,即可得到所有人生日都不相同的概率为:(365/365)× (364/365) × ... ×(343/365) ,得出结果为0.491。那么,再用1减去0.497,就可以得到23个人中有至少两个人生日相同的概率为0.509,即50.9%,超过一半的可能性。

  通过公式可以看到,随着房间中人数的增加,至少有两人生日相同的概率也增加。

  例如,一个教室有30名学生,那么两个同学生日相同的概率为70%。如果把人数增加到70个人,那么至少有两人生日是同一天的概率为99.9%。

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